Произведение напряженности электрического поля E и такой плоской площадки S, во всех точках которой напряженность поля одинакова и перпендикулярная к ней, составляет поток N вектора напряженности через площадку S;

N = ES (6)

Если вектор напряженности не перпендикулярен к площадке, то необходимо определять составляющую вектора напряженности перпендикулярную к площадке, которую называют нормальной составляющей (рис. 1):

N = E n S = (E*cosβ)S

При вычислении потока через произвольную поверхность площадью S в неоднородном поле эту поверхность следует разбить на малые плоские элементы dS в пределах каждого из которых напряженность поля можно считать одинаковой; поток через отдельную элементарную площадку

dN = E n dS

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность находится суммированием (интегрированием) элементарных потоков:

Единицу измерения потока вектора напряженности найдем из формулы (6):

[N] = = В/м *м 2 = В*м (8)

Рис.1 Нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля, Рис.2 электрический заряд внутри сферической поверхности

В качестве примера найдем поток вектора напряженности поля точечного заряда Q, помещенного в центре сферической (шаровой) поверхности радиуса R (рис. 2).
Напряженность поля заряда Q одинакова во всех точках этой поверхности и согласно ()

Так как векторы напряженности перпендикулярны к сферической поверхности, то E n = E и проходящий через поверхность поток вектора напряженности поля

Как видно из (9), полученное для частного случая сферической поверхности выражение потока не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения заряда внутри нее. Поэтому формула (9) справедлива для замкнутой поверхности любой формы и произвольно расположенных внутри нее зарядов, суммарное значение которых равно Q.

Итак, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен отношению сумм зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды. Получена соотношение называют теоремой Гаусса.

Наглядно поток изображают электрическими линиями, так чтобы вектор напряженности поля в любой точке был касательным к электрической линии, проведенной через
эту точку. Электрические линия поля неподвижных зарядов начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Число линий, пересекающих данную площадку, выбирают пропорциональным значению потока N через эту площадку. На показан электрические линии точечного заряда + Q 1 .

Электрическое поле неподвижных зарядов называют электростатическим.

Закон взаимодействия электрических зарядов - закон Кулона - можно сформулировать иначе, в виде так называемой теоремы Гаусса. Теорема Гаусса получается как следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Доказательство основывается на обратной пропорциональности силы взаимодействия двух точечных зарядов квадрату расстояния между ними. Поэтому теорема Гаусса применима к любому физическому полю, где действует закон обратных квадратов и принцип суперпозиции, например к гравитационному полю.

Рис. 9. Линии напряженности электрического поля точечного заряда, пересекающие замкнутую поверхность X

Для того чтобы сформулировать теорему Гаусса, вернемся к картине силовых линий электрического поля неподвижного точечного заряда. Силовые линии уединенного точечного заряда представляют собой симметрично расположенные радиальные прямые (рис. 7). Можно провести любое число таких линий. Обозначим полное их число через Тогда густота силовых линий на расстоянии от заряда, т. е. число линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса равна Сравнивая это соотношение с выражением для напряженности поля точечного заряда (4), видим, что густота линий пропорциональна напряженности поля. Мы можем сделать эти величины численно равными, надлежащим образом выбрав полное число силовых линий N:

Таким образом, поверхность сферы любого радиуса, охватывающей точечный заряд пересекает одно и то же число силовых линий. Это значит, что силовые линии непрерывны: в промежутке между любыми двумя концентрическими сферами разных радиусов ни одна из линий не обрывается и не добавляется ни одной новой. Поскольку силовые линии непрерывны, то такое же число силовых линий пересекает любую замкнутую поверхность (рис. 9), охватывающую заряд

Силовые линии имеют направление. В случае положительного заряда они выходят наружу из окружающей заряд замкнутой поверхности, как показано на рис. 9. В случае отрицательного заряда они входят внутрь поверхности. Если число выходящих линий считать положительным, а входящих - отрицательным, то в формуле (8) можно опустить знак модуля у заряда и записать ее в виде

Поток напряженности. Введем теперь понятие потока вектора напряженности поля через поверхность. Произвольное поле можно мысленно разбить на малые области, в которых напряженность меняется по модулю и направлению столь мало, что в пределах этой области поле можно считать однородным. В каждой такой области силовые линии представляют собой параллельные прямые и имеют постоянную густоту.

Рис. 10. К определению потока вектора напряженности поля через площадку

Рассмотрим, какое число силовых линий пронизывает малую площадку направление нормали к которой образует угол а с направлением линий напряженности (рис. 10). Пусть - проекция на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Так как число линий, пересекающих одинаково, а густота линий, согласно принятому условию, равна модулю напряженности поля Е, то

Величина а представляет собой проекцию вектора Е на направление нормали к площадке

Поэтому число силовых линий пересекающих площадку равно

Произведение носит название потока напряженности поля через поверхность Формула (10) показывает, что поток вектора Е через поверхность равен числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Отметим, что поток вектора напряженности, как и число проходящих через поверхность силовых линий, есть скаляр.

Рис. 11. Поток вектора напряженности Е через площадку

Зависимость потока от ориентации площадки относительно силовых линий иллюстрируется рис.

Поток напряженности поля через произвольную поверхность представляет собой сумму потоков через элементарные площадки, на которые можно разбить эту поверхность. В силу соотношений (9) и (10) можно утверждать, что поток напряженности поля точечного заряда через любую охватывающую заряд замкнутую поверхность 2 (см. рис. 9), как число выходящих из этой поверхности силовых линий равен При этом вектор нормали к элементарным площадкам замкнутой поверхности следует направлять наружу. Если заряд внутри поверхности отрицателен, то силовые линии входят внутрь этой поверхности и связанный с зарядом поток вектора напряженности поля также отрицателен.

Если внутри замкнутой поверхности находится несколько зарядов, то в соответствии с принципом суперпозиции будут складываться потоки напряженностей их полей. Полный поток будет равен где под следует понимать алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.

Если внутри замкнутой поверхности электрических зарядов нет или их алгебраическая сумма равна нулю, то полный поток напряженности поля через эту поверхность равен нулю: сколько силовых линий входит в объем, ограниченный поверхностью, столько же и выходит наружу.

Теперь можно окончательно сформулировать теорему Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля Е в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду находящемуся внутри этой поверхности. Математически теорема Гаусса выражается той же формулой (9), где под понимается алгебраическая сумма зарядов. В абсолютной электростатической

системе единиц СГСЭ коэффициент и теорема Гаусса записывается в виде

В СИ и поток напряженности через замкнутую поверхность выражается формулой

Теорема Гаусса широко используется в электростатике. В некоторых случаях с ее помощью легко рассчитываются поля, создаваемые симметрично расположенными зарядами.

Поля симметричных источников. Применим теорему Гаусса для расчета напряженности электрического поля равномерно заряженного по поверхности шара радиуса . Будем для определенности считать его заряд положительным. Распределение зарядов, создающих поле, обладает сферической симметрией. Поэтому такой же симметрией обладает и поле. Силовые линии такого поля направлены по радиусам, а модуль напряженности одинаков во всех точках, равноудаленных от центра шара.

Для того чтобы найти напряженность поля на расстоянии от центра шара, проведем мысленно концентрическую с шаром сферическую поверхность радиуса Поскольку во всех точках этой сферы напряженность поля направлена перпендикулярно ее поверхности и одинакова по модулю, то поток напряженности просто равен произведению напряженности поля на площадь поверхности сферы:

Но эту величину можно выразить и с помощью теоремы Гаусса. Если нас интересует поле вне шара, т. е. при то, например, в СИ и, сравнивая с (13), находим

В системе единиц СГСЭ, очевидно,

Таким образом, снаружи шара напряженность поля такая же, как у поля точечного заряда помещенного в центр шара. Если же интересоваться полем внутри шара, т. е. при то так как весь распределенный по поверхности шара заряд находится вне мысленно проведенной нами сферы. Поэтому поле внутри шара отсутствует:

Аналогично с помощью теоремы Гаусса можно рассчитать электростатическое поле, создаваемое бесконечной заряженной

плоскостью с плотностью постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что силовые линии перпендикулярны плоскости, направлены от нее в обе стороны и имеют всюду одинаковую густоту. Действительно, если бы густота силовых линий в разных точках была различной, то перемещение заряженной плоскости вдоль самой себя приводило бы к изменению поля в этих точках, что противоречит симметрии системы - такой сдвиг не должен изменять поле. Другими словами, поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным.

В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем поверхность цилиндра, построенного следующим образом: образующая цилиндра параллельна силовым линиям, а основания имеют площади параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее (рис. 12). Поток напряженности поля через боковую поверхность равен нулю, поэтому полный поток через замкнутую поверхность равен сумме потоков через основания цилиндра:

Рис. 12. К вычислению напряженности поля равномерно заряженной плоскости

По теореме Гаусса этот же поток определяется зарядом той части плоскости, которая лежит внутри цилиндра, и в СИ равен Сравнивая эти выражения для потока, находим

В системе СГСЭ напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости дается формулой

Для равномерно заряженной пластины конечных размеров полученные выражения приближенно справедливы в области, находящейся достаточно далеко от краев пластины и не слишком далеко от ее поверхности. Вблизи краев пластины поле уже не будет однородным и его силовые линии искривляются. На очень больших по сравнению с размерами пластины расстояниях поле убывает с расстоянием так же, как поле точечного заряда.

В качестве других примеров полей, создаваемых симметрично распределенными источниками, можно привести поле равномерно заряженной по длине бесконечной прямолинейной нити, поле равномерно заряженного бесконечного кругового цилиндра, поле шара,

равномерно заряженного по объему, и т. п. Теорема Гаусса позволяет во всех этих случаях легко рассчитывать напряженность поля.

Теорема Гаусса дает связь между полем и его источниками, в некотором смысле обратную той, что дает закон Кулона, который позволяет определить электрическое поле по заданным зарядам. С помощью теоремы Гаусса можно определить суммарный заряд в любой области пространства, в которой известно распределение электрического поля.

В чем различие концепций дальнодействия и близкодействия при описании взаимодействия электрических зарядов? В какой мере эти концепции можно применить к гравитационному взаимодействию?

Что такое напряженность электрического поля? Что имеют в виду, когда ее называют силовой характеристикой электрического поля?

Каким образом по картине силовых линий можно судить о направлении и модуле напряженности поля в некоторой точке?

Могут ли силовые линии электрического поля пересекаться? Аргументируйте свой ответ.

Нарисуйте качественную картину силовых линий электростатического поля двух зарядов таких, что .

Поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность выражается разными формулами (11) и (12) в системах единиц ГСЭ и в СИ. Как это увязать с геометрическим смыслом потока, определяемого числом силовых линйй, пересекающих поверхность?

Как использовать теорему Гаусса для нахождения напряженности электрического поля при симметричном распределении создающих его зарядов?

Как применить формулы (14) и (15) к вычислению напряженности поля шара с отрицательным зарядом?

Теорема Гаусса и геометрия физического пространства. Посмотрим на доказательство теоремы Гаусса с несколько иной точки зрения. Вернемся к формуле (7), из которой был сделан вывод о том, что через любую окружающую заряд сферическую поверхность проходит одно и то же число силовых линий. Этот вывод связан с тем, что происходит сокращение в знаменателях обеих частей равенства.

В правой части возникло из-за того, что сила взаимодействия зарядов, описываемая законом Кулона, обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами. В левой части появление связано с геометрией: площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату ее радиуса.

Пропорциональность площади поверхности квадрату линейных размеров - это отличительная черта евклидовой геометрии в трехмерном пространстве. Действительно, пропорциональность площадей именно квадратам линейных размеров, а не какой-либо иной целой степени, характерно для пространства

трех измерений. То, что этот показатель степени равен точно двум, а не отличается от двойки пусть даже на ничтожно малую величину, свидетельствует о неискривленности этого трехмерного пространства, т. е. о том, что его геометрия именно евклидова.

Таким образом, теорема Гаусса - это проявление свойств физического пространства в фундаментальном законе взаимодействия электрических зарядов.

Идея о тесной связи фундаментальных законов физики со свойствами пространства высказывалась многими выдающимися умами еще задолго до установления самих этих законов. Так, И. Кант за три десятилетия до открытия закона Кулона писал о свойствах пространства: «Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют одна на другую таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния».

Закон Кулона и теорема Гаусса фактически представляют один и тот же закон природы, выраженный в различных формах. Закон Кулона отражает концепцию дальнодействия, в то время как теорема Гаусса исходит из представления о силовом поле, заполняющем пространство, т. е. из концепции близкодействия. В электростатике источником силового поля является заряд, и связанная с источником характеристика поля - поток напряженности - не может измениться в пустом пространстве, где нет других зарядов. Поскольку поток можно наглядно представлять себе как совокупность силовых линий поля, то неизменность потока проявляется в непрерывности этих линий.

Теорема Гаусса, основанная на обратной пропорциональности взаимодействия квадрату расстояния и на принципе суперпозиции (аддитивности взаимодействия), применима к любому физическому полю, в котором действует закон обратных квадратов. В частности, она справедлива и для гравитационного поля. Ясно, что это не просто случайное совпадение, а отражение того, что и электрическое, и гравитационное взаимодействия разыгрываются в трехмерном евклидовом физическом пространстве.

На какой особенности закона взаимодействия электрических зарядов основана теорема Гаусса?

Докажите, основываясь на теореме Гаусса, что напряженность электрического поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния. Какие свойства симметрии пространства используются в этом доказательстве?

Каким образом геометрия физического пространства отражается в законе Кулона и теореме Гаусса? Какая особенность этих законов свидетельствует об евклидовом характере геометрии и трехмерности физического пространства?

ЛЕКЦИЯ № 7.ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУСА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

ВВЕДЕНИЕ

На данной лекции мы продолжаем знакомиться с важнейшими характеристиками электростатического поля.

Введение понятия электрической индукции связано, прежде всего, с удобством описания электростатического поля и упрощением решения многих задач электростатики, главным образом, связанных с электростатическим полем в диэлектриках.

Дело в том, что еще одна величина, характеризующая электростатическое поле, – поток вектора индукции электростатического поля через любую поверхность определяется только свободными зарядами, а не всеми зарядами внутри, объема, ограниченного данной поверхностью.

При дальнейшем изучении электрических и магнитных полей мы еще не раз встретимся с аналогичными понятиями - индукция магнитного поля, поток магнитной индукции. Физический смысл этих понятий конечно разный, но математическая природа у них, совершенно эквивалентна.

1. ПОТОК ВЕКТОРА ИНДУКЦИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Как известно, напряженность электростатического поля зависит от свойств ср еды: в однородной изотропной среде напряженность поля обратно пропорциональна диэлектрической проницаемости .

Поэтому при переходе из одной среды в другую напряженность электростатического поля претерпевает скачкообразные изменения, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей. Именно поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще одной векторной величиной – вектором электрического смещения или вектором индукции электростатического поля.

Определение. Электрическим смещением (электрической индукцией) называется векторная физическая величина равная произведению абсолютной диэлектрической проницаемости среды на напряженность электрического поля.

, (1)

где величина называется абсолютной диэлектрической проницаемостью среды.

Из формулы (1) следует, что вектор электрической индукции и вектор напряженности электростатического поля для изотропных сред, т.е. сред, свойства которых одинаковы по всем направлениям, всегда коллинеарны , так какабсолютная диэлектрическая проницаемость – величина строго положительная .

Найдем индукцию электрического поля точечного заряда.

Рис.1

(2)

Из формулы (2) видно, что, действительно, величина не зависит от свойств ср еды. Величина одинакова во всех средах (вода, керосин и т.д.).

Размерность электрической индукции в системе СИ:

Для графического изображения электростатического поля можно использовать линии электрического смещения .

Определение. Линии индукции электрического поля - это воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором индукции электрического поля в данной точке.

Рассмотрим электрическое поле, характеризуемое вектором электрического смещения . Пусть в этом поле находится некоторая элементарная плоская поверхность площадью - (рис.2).

Рис.2

Построим к поверхности единичную нормаль , направим ее "наружу". Затем введем вектор ориентированной площадки , равный произведению площади этой элементарной поверхности на вектор единичной нормали:

Очевидно, что и , так как .

Определение Элементарным потоком вектора электрической индукции через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная скалярному произведению вектора на векторориентированной площадки .

где - угол между вектором индукции и нормалью к поверхности , - проекция вектора электрической индукции на направление нормали .

Полный поток вектора через любую поверхность равен сумме элементарных потоков через элементарные поверхности, на которые можно разбить данную поверхность произвольной формы, то есть:

(4)

Размерность потока электрической индукциив системе СИ – кулон:

.

Замечание.

1) Для замкнутых поверхностей S поток вектора через эту поверхность равен:

()

За положительное направление нормали принимается направление внешней нормали, т.е. нормали, направленной наружу области, охватываемой поверхностью.

В данной части лекции мы изучили новые физические величины, характеризующие электрическое поле – индукцию электрического поля и поток вектора индукции электрического поля. Вектор электрическойиндукции является вспомогательной величиной, но, тем не менее, играет важную роль в процессе изучения электрического поля. Аналогичные величины будут введены при изучении магнитного поля.

2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

Вычислить напряженность поля, создаваемого системой зарядов, можно, как известно, с помощью принципа суперпозиции электростатических полей. Но это в большинстве случаев связано с громоздкими вычислениями.

Эти расчеты можно значительно упростить, если использовать основную теорему электростатики, теорему Остроградского-Гаусса, определяющую поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность.

Теорема Остроградского-Гаусса формулируется следующим образом:

«Поток индукции электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности».

Математически теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей записывается следующим образом:

= (5)

Замечания.

1) Поверхность обязательно должна быть замкнутой, форма поверхности не играет роли и может быть любой.

2) Если поверхность S не охватывает заряды , то поток электрической индукции через нее равен нулю (рис.3):

Рис.3

3) Если алгебраическая сумма зарядов равна 0, то и поток равен нулю.

Значение теоремы Остроградского-Гаусса огромно – она позволяет найти индукцию и напряженность электрического поля сложной конфигурации.

Алгоритм (схема) использования теоремы О c троградского-Гаусса при расчете напряженности электростатического поля, создаваемого произвольной конфигурацией зарядов, состоит из следующих пунктов:

1) Выбираем точку, в которой будем определять и

2) Через эту точку проводим замкнутую поверхность , охватывающую все заряды;

3) Вычисляем поток электрической индукции через эту поверхность по определению, то есть по формуле:

4) Считаем этот же поток, но по теореме Остроградского – Гаусса:

(5)

5) Приравниваем полученные в третьем и четвертом пункте выражения и находим величину электрической индукции в данной точке:

6) Зная электрическую индукцию , легко определить величину напряженности электростатического поля в данной точке :

Как уже говорилось выше, теорема Остроградского-Гаусса является одной из основных теорем электростатики, с помощью которой легко вычислить напряженность и электрическую индукцию электростатических полей различной конфигурации. Алгоритм применения теоремы Остроградского-Гаусса должен знать наизусть каждый студент.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧСЕКИХ ПОЛЕЙ

Часто при решении задач удобно считать, что заряды распределены в заряженном теле непрерывно – вдоль некоторой линии (например, в случае заряженного тонкого стержня), поверхности (например, в случае заряженной пластины), или объёма. Соответственно пользуются понятиями линейной, поверхностной и объёмной плотностей зарядов.

Объёмная плотность электрических зарядов это скалярная физическая величина равная отношению заряда тела к объему тела, по которому распределен заряд:

Если зарядраспределен равномерно по объему тела, то объемная плотность заряда есть постоянная величина и ее легко рассчитать по формуле:

Размерность объемной плотности зарядов определяется из указанных формул и в интернациональной системе единиц равна: .

Поверхностная плотность электрических зарядов определяется аналогичным образом – это скалярная физическая величина равная отношению заряда всей поверхности к площади этой поверхности:

Поверхностная плотность зарядов измеряется в системе СИ в кулонах, деленных на квадратный метр:

Линейной плотностью электрических зарядов называется скалярная физическая величина равная отношению заряда протяженного тела к длине этого тела:

Размерность линейной плотности зарядов в интернациональной системе единиц – кулон, деленный на метр:

3.1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Так как сфера заряжена равномерно, то поверхностная плотность заряда есть постоянная величина:

Пусть радиус сферы нам известен и равен . Тогда из формулы, приведенной выше, можно легко выразить общий заряд всей сферы:

Будем считать,что сфера заряжена положительно. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности сферы поле, создаваемое этими зарядами, обладает сферической симметрией. Поэтому линии электрической индукции (и силовые линии напряженности электростатического поля) направлены радиально от сферы (рис.4).

Рис.4

В соответствии с приведенным выше алгоритмом применения теоремы Остроградского-Гаусса выполним следующие действия:

1. Выберем произвольную точку А , расположенную на расстоянии от центра сферы и определим напряженность электростатического поля в этой точке;

2. Проведем через точку замкнутую поверхность . Учитывая сферическую симметрию задачи, удобно построить сферу радиусом с центром, точке, где находится центр заряженной сферы;

3. Считаем поток электрической индукции через поверхность по определению:

так как задача обладает сферической симметрией, то величина вектора электрической индукции в любой точке, находящейся на одинаковом расстоянии от центра заряженной сферы будет постоянна, поэтому мы имеем право вынести эту величину из-под знака интеграла. Кроме того, угол – угол между вектором электрической индукции и вектором нормали к сферической поверхности в любой точке сферическойповерхности, по которой проводится интегрирование, равен нулю.

Интеграл вида равен площади поверхности, по которой проводится интегрирование, поэтому окончательно можно записать:

;

4. Считаем этот же поток, но по теореме Остроградского – Гаусса:

5. Приравниваем полученные в пунктах 3 и 4 результаты:

Или ,

и находим величину электрической индукции в точке А :

Или

6. Определяем напряженность электростатического поля в точке :

или

Замечания:

1) Если точка А находится внутри заряженной сферы, то есть , тоэлектрическая индукция и напряженность электростатического поля в такой точке тождественно равны нулю и так как внутри заряженной сферы зарядов нет и поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность, расположенную внутри заряженной сферы будет равен нулю . Другими словами – внутри заряженной сферы электрическое пол отсутствует.

2) Если точка А находится на поверхности заряженной сферы, то есть , то электрическая индукция и напряженность электрического поля на поверхности заряженной сферы соответственно равны:

Или

Или

График зависимости напряженности электростатического поля от расстояния до центра сферы (Рис.5):

Рис. 5

3.2. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Пусть имеется равномерно заряженная бесконечная плоскость с постоянной поверхностной плотностью заряда (рис.6).

Рис. 6

Будем считать плоскость бесконечной, если расстояние от плоскости до точки, где определяется , много меньше линейных размеров плоскости. Линии электрического смещения , так же как и силовые линии вектора в этом случае направлены перпендикулярно плоскости и идут симметрично в обе стороны

Будем использовать теорему Остроградского-Гаусса по известному алгоритму:

1. Выберем точку на расстоянии от плоскости.

2. Проведём через эту точку замкнутую поверхность в виде цилиндра, ось которого перпендикулярна заряженной поверхности. Точка лежит на основании цилиндра.

3. Вычислим поток индукции через построенную цилиндрическую поверхность по определению.

,

где – поток индукции через боковую поверхность цилиндра, – поток индукции через основание цилиндра.

Поток индукции через боковую поверхность равен нулю, так как угол между нормалью к боковой поверхности и вектором индукции равен . Поток через основание цилиндра:

4. Вычислим поток индукции по теореме Остроградского–Гаусса.

,

где – электрический заряд, находящийся внутри построенной нами замкнутой поверхности – цилиндра.

5. Приравняем результаты, полученные в пунктах 3 и 4, и найдём :

, отсюда

6. Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью:

.

Рис. 7

Таким образом, индукция и напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависят от расстояния до плоскости и постоянны в любой точке поля: поле заряженной поверхности однородно. Для отрицательно заряженной поверхности результат будет таким же, только направление векторов и изменится на обратное. График зависимости для такого поля показан на рис. 7.

Из этих формул видно, что электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным и не зависит от расстояния.

Используя принцип суперпозиций для электростатического поля, легко можно получить выражения для напряженности и электрической индукции электрического поля плоского конденсатора:

Заключение

Теорема Остроградского-Гаусса была выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским, а затем независимо от него Гаусс получил эту теорему применительно к электростатическому полю.

При доказательстве этой теоремы Гаусс опирался на закон Кулона и поэтому теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля есть следствие закона Кулона.

По своей сути теорема Гаусса математически выражает тот факт, что именно электрические заряды и есть источники электростатического поля, поэтому теорема Гаусса является основной теоремой электростатики.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА № 1. Двум изолированным металлическим концентрически расположенным сферам радиусами 5 сантиметров и 10 сантиметров сообщены соответственно заряды 10 нанокулон и 20 нанокулон . Пространство между сферами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Определить напряженность электростатического поля и величину электрической индукции на расстоянии 2 сантиметра, 7 сантиметров и 12 сантиметров от центра обеих сфер.

ДАНО:

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ: данная задача решается с использованием теоремы Остроградского-Гаусса. Найдем электрическую индукцию и напряженность электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 2 сантиметра от общего центра данных сфер, для этого построим сферическую поверхность радиусом 2 сантиметра, центр которой совпадает с центром металлических сфер. После этого найдем поток электрической индукции через эту сферическую поверхность двумя способами – по теореме Остроградского-Гаусса и по определению потока электрической индукции . Первый способ дает тривиальное значение – поток электрической индукции должен быть равен нулю – , так как внутри сферической поверхности радиуса 2 сантиметра нет никакого электрического заряда. Второй способ дает следующий результат:

,

так как угол в любой точке сферической поверхности, через которую мы ищем поток электрической индукции. Кроме того, здесь мы учли, что интеграл по замкнутой поверхности равен площади сферической поверхности радиусом 2 сантиметра.

Приравняем два полученных результата: . Отсюда следует, что электрическая индукция равна нулю на расстоянии 2 сантиметра от центра металлических сфер и вообще в любой точке, находящейся внутри обеих сфер .Найдем теперь напряженность электростатического поля. Для этого используем определение электрической индукции . Из этого равенства следует, что . Таким образом, напряженность электростатического поля так же будет равна нулю на расстоянии 2 сантиметра от центра сфер и в любой точке внутри металлических заряженных сфер .

Перейдем к точке, находящейся между заряженными металлическими сферами на расстоянии 7 сантиметров от их общего центра. Будем действовать по тому же алгоритму. Сначала проведем сферическую поверхность радиуса 7 сантиметров, центр которой совпадает с центром металлических сфер. Затем посчитаем поток электрической индукции через эту поверхность двумя способами. Из теоремы Остроградского-Гаусса следует, что . Использование определения потока электрической индукции дает другой результат:

.

Здесь мы учли те же соображения, что были использованы в первом случае:

и

Приравняв эти выражения, получим:

.

Таким образом, электрическая индукция в точке, находящейся между заряженными сферами на расстоянии 7 сантиметров от их общего центра, зависит только от заряда внутренней сферы , внешняя сфера никак не влияет на электрическое поле, которое существует внутри нее.

Напряженность электростатического поля в интересующей нас точке будет равна

,

где – диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего пространство между заряженными сферами.

Проверим размерность полученных рабочих формул:

и

Размерность соответствует действительности, поэтому можно приступать к вычислению конечного результата:

,

Переходим к третьему этапу задачи. Для того чтобы найти значение электрической индукции и напряженности электростатического поля вне обеих заряженных сфер в точке, находящейся на расстоянии 12 сантиметров от их общего центра, проведем сферическую поверхность радиусом 12 сантиметров, центр которой совпадает с центром заряженных сфер.

Определим поток электрической индукции через эту поверхность двумя способами. Теорема Остроградского-Гаусса дает следующий результат:

Определение потока электрической индукции приводит к другому результату:

Левые части этих двух равенств одинаковы, значит, правые части этих равенств должны быть равны между собой, то есть: .

Выразим искомые величины:

и

Таким образом, в создании электрического поля вне заряженных сфер участвуют обе сферы. Так как пространство, окружающее внешнюю заряженную сферу, ничем не заполнено (является вакуумом), то .

Размерность этих формул можно не проверять, так как эта операция уже была проведена выше.

,

Знак минус дает нам информацию о направлении вектора электрической индукции и вектора напряженности электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 12 сантиметров от центра заряженных сфер. Действительно, в любой точке, лежащей вне заряженных сфер, вектор индукции и вектор напряженности электростатического поля будет направлен радиально к внешней заряженной сфере.

ЗАДАЧА № 2. Две бесконечно протяженные равномерно заряженные пластины находятся на некотором расстоянии друг от друга. Напряженность электростатического поля между пластинами 3000 вольт на метр, а вне пластин – 1000 вольт на метр. Найти поверхностную плотность заряда на каждой пластине.

ДАНО:

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ: при решении данной задачи мы воспользуемся результатами применения теоремы Остроградского-Гаусса для расчета напряженности и электрической индукции электростатического поля, создаваемой бесконечной равномерно заряженной плоскостью. Оказывается электростатическое поле, существующее около такой плоскости, является по своему характеру однородным, силовые линии такого электростатического поля направлены перпендикулярно плоскости. Если заряд на плоскости положительный, то силовые линии направлены от плоскости в обе стороны, если же заряд на плоскости отрицательный, то силовые линии направлены по обе стороны к плоскости. Величина напряженности в любой точке пространства около бесконечной равномерно заряженной плоскости равна .

Тот факт, что напряженность электростатического поля между пластинами больше, чем напряженность поля вне пластин говорит о том, что пластины заряжены разноименными зарядами – одна положительно, другая– отрицательно. Так как вне пластин вектора направлены в противоположные стороны , а между пластинами – в одну сторону, то есть .

Рис. 2

Если пластины зарядить одноименными зарядами, допустим положительно, будет, наоборот – между пластинами напряженность электростатического поля будет меньше, чем напряженность вне пластин, так как

ЗАДАЧА № 3. С какой силой действует электрическое поле плоского конденсатора на находящийся в нем электрический заряд 1 нанокулон ? Найти силу взаимодействия пластин конденсатора. Поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора равна 0,1 нанокулон на квадратный метр, а площадь пластин конденсатора равна 100 квадратных сантиметра.

ДАНО:

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ: электростатическое поле внутри плоского конденсатора складывается из электрического поля, создаваемого положительно заряженной пластиной и отрицательно заряженной пластиной. Напряженность результирующего поля будет равна векторной сумме напряженностей электрического поля, создаваемого одной и второй пластиной:

Величина напряженности бесконечной равномерно заряженной пластины может быть найдена с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Как известно, ее величина равна:

Суммируя все вышесказанное, можно найти напряженность электростатического поля внутри плоского конденсатора :

Этот результат говорит нам о том, что электрическое поле внутри плоского конденсатора является однородным.

Если поместить внутрь плоского конденсатора заряженную частицу, то она будет находиться в электростатическом поле, которое будет действовать на нее с определенной силой:

Проверим размерность полученной рабочей формулы:

Размерность правильная, так как сила действительно измеряется в ньютонах.

Математические вычисления дают следующий результат:

Силу взаимодействия, а именно силу притяжения пластин плоского конденсатора, можно найти следующим образом: рассмотрим одну заряженную пластину конденсатора, находящуюся в электростатическом поле, создаваемом другой заряженной пластиной. Величина заряда всей пластины конденсатора равна , где – площадь одной пластины плоского конденсатора. Напряженность электростатического поля, в котором находится эта пластина конденсатора, равна . Следовательно, сила, которая будет действовать на одну пластину конденсатора со стороны электростатического поля, создаваемого другой пластиной, будет описываться следующей формулой:

Итак, мы ответили на второй вопрос задачи – нашли силу взаимодействия (силу, с которой притягиваются) пластины плоского конденсатора.

Проверим размерность этой формулы:

Размерность соответствует действительности, приступим к математическим вычислениям:

Электростатическое поле наглядно можно изобразить с помощью силовых линий (линий напряженности). Силовыми линиями называют кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором напряженности Е .

Силовые линии являются условным понятием и реально не существуют. Силовые линии одиночного отрицательного и одиночного положительного зарядов изображены на рис. 5 - это радиальные прямые, выходящие от положительного заряда или идущие к отрицательному заряду.

Если густота и направление силовых линий по всему объему поля сохраняются неизменными, такое электростатическое поле считается однородным (выделение">число линий должно быть численно равно напряженности поля Е .

Число силовых линий пометка">dS, перпендикулярную к ним, определяет поток вектора напряженности электростатического поля:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - проекция вектора Е на направление нормали n к площадке dS (рис. 6 ).

Соответственно поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S

пометка">S не только величина, но и знак потока могут меняться:

1) при формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

3) при выделение">Найдем поток вектора Е сквозь сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q.

В этом случае пометка">Е и n во всех точках сферической поверхности совпадают.

С учетом напряженности поля точечного заряда формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" получим

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - алгебраическая величина, зависящая от знака заряда. Например, при q <0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt=" вокруг заряда q имеет произвольную форму. Очевидно, что поверхность пометка">Е, что и поверхность S. Следовательно, поток вектора Е сквозь произвольную поверхность формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Если заряд будет находиться вне замкнутой поверхности, то, очевидно, сколько линий войдет в замкнутую область, столько же из нее и выйдет. В результате поток вектора Е будет равен нулю.

Если электрическое поле создается системой точечных зарядов формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Эта формула является математическим выражением теоремы Гаусса: поток вектора напряженности Е электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые она охватывает, деленной на формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Для полноты описания представим теорему Гаусса еще и в локальной форме, опираясь не на интегральные соотношения, а на параметры поля в данной точке пространства. Для этого удобно использовать дифференциальный оператор - дивергенцию вектора, -

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" («набла») -

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

В математическом анализе известна теорема Гаусса-Остроградского: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от его дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью, -

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Это выражение и есть теорема Гаусса в локальной (дифференциальной) форме.

Теорема Гаусса (2.2) позволяет определять напряженности различных электростатических полей. Рассмотрим несколько примеров применения теоремы Гаусса.

1. Вычислим Е электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Предположим, что сферическая поверхность радиуса R несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда всюду одинакова пометка">r >R от центра сферы мысленно построим новую сферическую поверхность S, симметричную заряженной сфере. В соответствии с теоремой Гаусса

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии можно записать:

выделение">внутри заряженной сферы, не содержит внутри себя электрических зарядов, поэтому поток пометка">Е = 0.

Принцип суперпозиции в сочетании с законом Кулона даёт ключ к вычислению электрического поля произвольной системы зарядов, но непосредственное суммирование полей по формуле (4.2) обычно требует сложных вычислений. Впрочем, при наличии той или иной симметрии системы зарядов вычисления существенно упрощаются, если ввести понятие потока электрического поля и использовать теорему Гаусса.

Представления о потоке электрического поля привнесены в электродинамику из гидродинамики. В гидродинамике поток жидкости через трубу, то есть объём жидкости N , проходящий через сечение трубы в единицу времени, равен v ⋅ S , где v — скорость жидкости, а S — площадь сечения трубы. Если скорость жидкости изменяется по сечению, нужно использовать интегральную формулу N = ∫ S v → ⋅ d S → . Действительно, выделим в поле скоростей малую площадку d S , перпендикулярную к вектору скорости (рис. ).

Рис. 1.4: Поток жидкости

Объём жидкости, протекающий через эту площадку за время d t , равен v d S d t . Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объём будет v d S cos θ d t , где θ — угол между вектором скорости v → и нормалью n → к площадке d S . Объём жидкости, протекающий через площадку d S в единицу времени получается делением этой величины на d t . Он равен v d S cos θ d t , т.е. скалярному произведению v → ⋅ d S → вектора скорости v → на вектор элемента площади d S → = n → d S . Единичный вектор n → нормали к площадке d S можно провести в двух прямо противоположных направлениях. одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль n → . Та сторона площадки, из которой выходит нормаль n → , называется внешней, а та, в которую нормаль n → входит, — внутренней. Вектор элемента площади d S → направлен по внешней нормали n → к поверхности, а по величине равен площади элемента d S = ∣ d S → ∣ . При вычислении объёма протекающей жидкости через площадку S конечных размеров, её надо развить на бесконечно малые площадки d S , а затем вычислить интеграл ∫ S v → ⋅ d S → по всей поверхности S .

Выражения типа ∫ S v → ⋅ d S → встречаются во многих отраслях физики и математики. Они называются потоком вектора v → через поверхность S независимо от природы вектора v → . В электродинамике интеграл

N = ∫ S E → ⋅ d S →

(5.1)

называют потоком напряженности электрического поля E → через произвольную поверхность S , хотя с этим понятием не связано никакое реальное течение.

Допустим, что вектор E → представляется геометрической суммой

E → = ∑ j E → j .

Умножив это равенство скалярно на d S → и проинтегрировав, получим

N = ∑ j N j .

где N j — поток вектора E → j через ту же самую поверхность. Таким образом, из принципа суперпозиции напряженности электрического поля следует, что потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически.

Теорема Гаусса гласит, что поток вектора E → через произвольную замкнутую поверхность равен умноженному на 4 π суммарному заряду Q всех частиц, находящихся внутри этой поверхности:

Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1. Начнем с вычисления потока электрического поля одного точечного заряда q (рис. ). В простейшем случае, когда поверхность интегрирования S является сферой, а заряд находится в её центре, справедливость теоремы Гаусса практически очевидна. На поверхности сферы напряженность электрического поля

E → = q r → ∕ r 3

постоянна по величине и всюду направлена по нормали к поверхности, так что поток электрического поля просто равен произведению E = q ∕ r 2 на площадь сферы S = 4 π r 2 . Следовательно, N = 4 π q . Этот результат не зависит от формы поверхности, окружающей заряд. Чтобы доказать это, выделим произвольную площадку поверхности достаточно малого размера с установленным на ней направлением внешней нормали n → . На рис. показан один такой сегмент преувеличенно большого (для наглядности) размера.

Поток вектора E → через эту площадку равен d N = E → ⋅ d S → = E cos θ d S ,

где θ — угол между направлением E → и внешней нормалью n → к площадке d S . Так как E = q ∕ r 2 , а d S cos θ ∕ r 2 по абсолютной величине есть элемент телесного угла d Ω = d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2 , под которым видна площадка d S из точки расположения заряда,

D N = ± q d Ω .

где знаки плюс и минус отвечают знаку cos θ , а именно: следует взять знак плюс, если вектор E → составляет острый угол с направлением внешней нормали n → , и знак минус в противном случае.

2. Теперь рассмотрим конечную поверхность S , охватывающую некоторый выделенный объём V . По отношению к этому объёму всегда можно определить, какое из двух противоположных направлений нормали к любому элементу поверхности S следует считать внешним. Внешняя нормаль направлена из объёма V наружу. Суммируя по сегментам, с точностью до знака имеем N = q Ω , где Ω — телесный угол, под которым видна поверхность S из точки, где находится заряд q . Если поверхность S замкнута, то Ω = 4 π при условии, что заряд q находится внутри S . В противном случае Ω = 0 . Чтобы пояснить последнее утверждение, можно вновь обратиться к рис. .

Очевидно, что потоки через сегменты замкнутой поверхности, опирающиеся на равные телесные углы, но обращенные в противоположные стороны, взаимно сокращаются. Очевидно также, что если заряд находится вне замкнутой поверхности, то любому сегменту, обращенному наружу, найдется соответствующий сегмент, обращенный внутрь.

3. Наконец, воспользовавшись принципом суперпозиции, приходим к итоговой формулировке теоремы Гаусса (). Действительно, поле системы зарядов равно сумме полей каждого заряда в отдельности, но в правую часть теоремы () дают ненулевой вклад только заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности. Этим завершается доказательство.

В макроскопических телах число носителей заряда столь велико, что дискретный ансамбль частиц удобно представить в виде непрерывного распределения, введя понятие плотности заряда. По определению, плотностью заряда ρ называется отношение Δ Q ∕ Δ V в пределе, когда объём Δ V стремится к физически бесконечно малой величине:

где интегрирование в правой части производится по объему V , замкнутому поверхностью S .

Теорема Гаусса даёт одно скалярное уравнение на три компоненты вектора E → , поэтому для расчета электрического поля одной этой теоремы недостаточно. Необходима известная симметрия распределения плотности зарядов, чтобы задача могла быть сведена к одному скалярному уравнению. Теорема Гаусса позволяет найти поле в тех случаях, когда поверхность интегрирования в () удается выбрать так, что напряженность электрического поля E постоянна на всей поверхности. Рассмотрим наиболее поучительные примеры.

▸ Задача 5.1

Найти поле шара, равномерно заряженного по объёму или поверхности.

Решение: Электрическое поле точечного заряда E → = q r → ∕ r 3 стремится к бесконечности при r → 0 . Этот факт показывает противоречивость представления элементарных частиц точечными зарядами. Если же заряд q равномерно распределен по объему шара конечного радиуса a , то электрическое поле не имеет особенностей.

Из симметрии задачи ясно, что электрическое поле E → всюду направлено радиально, а его напряженность E = E (r) зависит только от расстояния r до центра шара. Тогда поток электрического поля через сферу радиуса r просто равен 4 π r 2 E (рис. ).

С другой стороны, заряд внутри той же сферы равен полному заряду шара Q , если r ≥ a . Приравнивая 4 π r 2 E к умноженному на 4 π заряду шара q , получаем: E (r) = q ∕ r 2 .

Таким образом, во внешнем пространстве заряженный шар создает такое поле, как если бы весь заряд был сосредоточен в его центре. Этот результат справедлив при любом сферически симметричном распределении заряда.

Поле внутри шара равно E (r) = Q ∕ r 2 , где Q — заряд внутри серы радиуса r . Если заряд равномерно распределен по объему шара, то Q = q (r ∕ a) 3 . В этом случае

E (r) = q r ∕ a 3 = (4 π ∕ 3) ρ r ,

где ρ = q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) — плотность заряда. Внутри шара поле линейно спадает от максимального значения на поверхности шара до нуля в его центре (рис. ).

Функция E (r) при этом всюду конечна и непрерывна.

Если заряд распределен по поверхности шара, то Q = 0 , а поэтому также E = 0 . Это результат также справедлив для случая, когда внутри сферической полости зарядов нет, а внешние заряды распределены сферически симметрично. ▸ Задача 5.2

Найти поле равномерно заряженной бесконечной нити; радиус нити a , заряд на единицу длины ϰ .

▸ Задача 5.3

Найти поле бесконечной прямой нити и бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра.

▸ Задача 5.4

Найти поле бесконечной заряженной плоскости и равномерно заряженного бесконечного плоского слоя.

Решение: Вследствие симметрии задачи поле направлено по нормали к слою и зависит только от расстояния x от плоскости симметрии пластины. Для вычисления поля с помощью теоремы Гаусса удобно выбрать поверхность интегрирования S в виде параллелипипеда, как показано на рис. .

Последний результат получается предельным переходом a → 0 при одновременном увеличении плотности заряда ρ так, чтобы величина σ = ρ a оставалась неизменной. По разные стороны от плоскости напряженность электрического поля одинакова по величине, но противоположна по направлению. Поэтому при переходе через заряженную плоскость поле скачком меняется на величину 4 π σ . Заметим, что пластина может считаться бесконечной, если расстояние от пренебрежимо мало по сравнению с её размерами. На расстояниях очень больших по сравнению с размерами пластины она действует, как точечный заряд, и её поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.