Определение производной по графику функции. Сбор и использование персональной информации

Дорогие друзья! В группу заданий связанных с производной входят задачи — в условии дан график функции, несколько точек на этом графике и стоит вопрос:

В какой точке значение производной наибольшее (наименьшее)?

Кратко повторим:

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной проходящей через эту точку графика.

У гловой коэффициент касательной в свою очередь равен тангенсу угла наклона этой касательной.

*Имеется ввиду угол между касательной и осью абсцисс.

1. На интервалах возрастания функции производная имеет положительное значение.

2. На интервалах её убывания производная имеет отрицательное значение.

Рассмотрим следующий эскиз:

В точках 1,2,4 производная функции имеет отрицательное значение, так как данные точки принадлежат интервалам убывания.

В точках 3,5,6 производная функции имеет положительное значение, так как данные точки принадлежат интервалам возрастания.

Как видим, со значением производной всё ясно, то есть определить какой она имеет знак (положительный или отрицательный) в определённой точке графика совсем несложно.

При чём, если мы мысленно построим касательные в этих точках, то увидим, что прямые проходящие через точки 3, 5 и 6 образуют с осью оХ углы лежащие в пределах от 0 до 90 о, а прямые проходящие через точки 1, 2 и 4 образуют с осью оХ углы в пределах от 90 о до 180 о.

*Взаимосвязь понятна: касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам возрастания функции образуют с осью оХ острые углы, касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам убывания функции образуют с осью оХ тупые углы.

Теперь важный вопрос!

А как изменяется значение производной? Ведь касательная в разных точках графика непрерывной функции образует разные углы, в зависимости от того, через какую точку графика она проходит.

*Или, говоря простым языком, касательная расположена как бы «горизонтальнее» или «вертикальнее». Посмотрите:

Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 0 до 90 о

Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 90 о до 180 о

Поэтому, если будут стоять вопросы:

— в какой из данных точек графика значение производной имеет наименьше значение?

— в какой из данных точек графика значение производной имеет наибольшее значение?

то для ответа необходимо понимать, как изменяется значение тангенса угла касательной в пределах от 0 до 180 о.

*Как уже сказано, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к оси оХ.

Значение тангенса изменяется следующим образом:

При изменении угла наклона прямой от 0 о до 90 о значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно от 0 до +∞;

При изменении угла наклона прямой от 90 о до 180 о значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно –∞ до 0.

Наглядно это видно по графику функции тангенса:

Говоря простым языком:

При угле наклона касательной от 0 о до 90 о

Чем он ближе к 0 о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с положительной стороны).

Чем угол ближе к 90 о, тем больше значение производной будет увеличиваться к +∞.

При угле наклона касательной от 90 о до 180 о

Чем он ближе к 90 о, тем больше значение производной будет уменьшаться к –∞.

Чем угол будет ближе к 180 о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с отрицательной стороны).

317543. На рисунке изображен график функции y = f (x ) и отмечены точки –2, –1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам на которых функция убывает (это точки –1 и 1) и две интервалам на которых функция возрастает (это точки –2 и 2).

Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 1 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 2 она имеет положительное значение. Следовательно в данном случае необходимо проанализировать точки –2 и 2 и определить в какой из них значении будет наибольшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:

Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке –2 будет наибольшим.

Ответим на следующий вопрос: в какой из точек –2, –1, 1 или 2 значение производной является наибольшим отрицательным? В ответе укажите эту точку.

Производная будет иметь отрицательное значение в точках, принадлежащим интервалам убывания, поэтому рассмотрим точки –2 и 1. Построим касательные проходящие через них:

Видим, что тупой угол между прямой b и осью оХ находится «ближе» к 180 о , поэтому его тангенс будет больше тангенса угла, образованного прямой а и осью оХ.

Таким образом, в точке х = 1, значение производной будет наибольшим отрицательным.

317544. На рисунке изображен график функции y = f (x ) и отмечены точки –2, –1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам, на которых функция убывает (это точки –1 и 4) и две интервалам, на которых функция возрастает (это точки –2 и 1).

Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 4 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 1 она имеет положительное значение. Следовательно, в данном случае, необходимо проанализировать точки –1 и 4 и определить – в какой из них значении будет наименьшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:

Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке х = 4 будет наименьшим.

Ответ: 4

Надеюсь, что «не перегрузил» вас количеством написанного. На самом деле, всё очень просто, стоит только понять свойства производной, её геометрический смысл и как изменяется значение тангенса угла от 0 до 180 о.

1. Сначала определите знаки производной в данных точках (+ или -) и выберете необходимые точки (в зависимости от поставленного вопроса).

2. Постройте касательные в этих точках.

3. Пользуясь графиком тангесоиды, схематично отметьте углы и отобразите А лександр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Пример 1

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:


В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

В точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум , исследование функции на перегиб графика , полное исследование функции и др.

Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.

Пример 3

Вычислить производную функции в точке .
Сначала найдем производную:

Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому-что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.

Пример 4

Вычислить производную функции в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x) . Зафиксируем точку М(х 0 ; f (x 0)) . Придадим абсциссе х 0 приращение Δх . Мы получим новую абсциссу х 0 +Δх . Это абсцисса точки N , а ордината будет равна f (х 0 +Δх ). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy .

Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Через точки M и N проведем секущую MN , которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох . Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN .

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ , а угол φ станет углом α . Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ :

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох :

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Тип задания: 7

Условие

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Обозначим через C(-6; 1) точку пересечения прямых x=-6 и y=1, а через \alpha угол ABC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \pi -\alpha, который является тупым.

Как известно, tg(\pi -\alpha) и будет значением производной функции f(x) в точке x_0. Заметим, что tg \alpha =\frac{AC}{CB}=\frac{2-1}{-1-(-6)}=\frac15. Отсюда по формулам приведения получаем: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-2x-4 является касательной к графику функции y=16x^2+bx+12. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=16x^2+bx+12, через которую

проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=32x_0+b=-2. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть 16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. Получаем систему уравнений \begin{cases} 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end{cases}

Решая систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому x_0=1, тогда b=-2-32x_0=-34.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6.

Решение

Прямая y=6 параллельна оси Ox . Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 4 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=4x-6 параллельна касательной к графику функции y=x^2-4x+9. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=x^2-4x+9 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=2x-4, значит, y"(x_0)=2x_0-4. Угловой коэффициент касательной y=4x-7, указанной в условии, равен 4 . Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что 2x_0-4=4. Получаем: x_0=4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(1; 1) и B(5; 4). Обозначим через C(5; 1) точку пересечения прямых x=5 и y=1, а через \alpha угол BAC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \alpha.