>>Геометрия: Сумма углов треугольника. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Сумма углов треугольника.

Цели урока:

• Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: «Сумма углов треугольника»;
• Доказательство свойства углов треугольника;
• Применение этого свойства при решении простейших задач;
• Использование исторического материала для развития познавательной активности учащихся;
• Привитие навыка аккуратности при построении чертежей.

Задачи урока:

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Треугольник;
2. Теорема о сумме углов треугольника;
3. Пример задач.

Треугольник.

Файл:O.gif Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
Любой многоугольник можно разбить на треугольники - этот процесс называется триангуляция .
Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников - Тригонометрия .

Теорема о сумме углов треугольника.

Файл:T.gif Теорема о сумме углов треугольника - классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает что cумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство":

Пусть дан Δ ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную (AC) и отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Тогда угол (DBC) и угол (ACB) равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей (BC). Тогда сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол (ABD) и угол (BAC) при вершине A треугольника ABC являются внутренними односторонними при параллельных прямых BD и AC и секущей (AB), и их сумма равна 180°. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.

Следствия.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть дан Δ ABC. Точка D лежит на прямой AC так, что A лежит между C и D. Тогда BAD – внешний к углу треугольника при вершине A и A + BAD = 180°. Но A + B + C = 180°, и, следовательно, B + C = 180° – A. Отсюда BAD = B + C. Следствие доказано.

Следствия.

Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.

Задача.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
(Рис.1)

Решение:

Пусть в Δ АВС ∠DАС – внешний (Рис.1). Тогда ∠DАС=180°-∠ВАС (по свойству смежных углов), по теореме о сумме углов треугольника ∠В+∠С =180°-∠ВАС. Из этих равенств получим ∠DАС=∠В+∠С

Интересный факт:

Сумма углов треугольника":

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. В геометрии Эвклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.

Из истории математики:

Евклид (III в до н.э) в труде «Начала» приводит такое определение: «Параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».
Посидоний (I в до н.э) «Две прямые, лежащие в одной плоскости, равноотстоящие друг от друга»
Древнегреческий учёный Папп (III в до н.э) ввёл символ параллельных прямых- знак =. Впоследствии английский экономист Рикардо (1720-1823) этот символ использовал как знак равенства.
Только в XVIII веке стали использовать символ параллельности прямых - знак ||.
Ни на миг не прерывается живая связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали гипотезы, а затем, на встречах учёных – симпозиумах (буквально « пиршество») – эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время и сложилось утверждение: « В споре рождается истина».

Вопросы:

1. Что такое треугольник?
2. Что гласит теорема о сумме углов треугольника?
3. Чему равен внешний угол треугольника?

Материалы, расположенные на этой странице, являются авторскими. Копирование для размешения на других сайтах допускается только с явного согласия автора и администрации сайта.

Сумма углов треугольника.

Смирнова И. Н., учитель математики.
Информационный проспект открытого урока.

Цель методического занятия: познакомить учителей с современными методами и приемами использования средств ИКТ в различных видах учебной деятельности.
Тема урока: Сумма углов треугольника.
Имя урока: «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью». Л. Н Толстой.
Методические новшества, которые будут положены в основу урока.
На уроке будут показаны методы научного исследования с использованием ИКТ (использование математических экспериментов, как одной из форм получения новых знаний; экспериментальная проверка гипотез).
Обзорное описание модели урока.

1. Мотивация изучения теоремы.
2. Раскрытие содержания теоремы в ходе математического эксперимента с использованием учебно-методического комплекта «Живая математика».
3. Мотивация необходимости доказательства теоремы.
4. Работа над структурой теоремы.
5. Поиск доказательства теоремы.
6. Доказательство теоремы.
7. Закрепление формулировки теоремы и ее доказательства.
8. Применение теоремы.

Урок по геометрии в 7 классе
по учебнику «Геометрия 7-9»
на тему: «Сумма углов треугольника».

Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
Образовательные: доказать теорему о сумме углов треугольника; получить навыки работы с программой «Живая математика», развитие межпредметных связей.
Развивающие: совершенствование умений осознанно проводить такие приемы мышления как сравнение, обобщение и систематизация.
Воспитательные: воспитание самостоятельности и умения работать в соответствии с намеченным планом.
Оборудование: мультимедийный кабинет, интерактивная доска, карточки с планом практической работы, программа «Живая математика».

Структура урока.

1. Актуализация знаний.
   1. Мобилизующее начало урока.
   2. Постановка проблемной задачи с целью мотивации изучения нового ма-териала.
   3. Постановка учебной задачи.
2. 1. Практическая работа «Сумма углов треугольника».
   2. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
3. 1. Решение проблемной задачи.
   2. Решение задач по готовым чертежам.
   3. Подведение итогов урока.
   4. Постановка домашнего задания.

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

   План урока:

   1. Экспериментальным путем установить и выдвинуть гипотезу о сумме углов любого треугольника.
   2. Доказать это предположение.
   3. Закрепить установленный факт.
2. Формирование новых знаний и способов действий.
   1. Практическая работа «Сумма углов треугольника».

      Учащиеся садятся за компьютеры и им раздаются карточки с планом практической работы.

      Практическая работа по теме «Сумма углов треугольника» (образец карточки)

      Распечатать карточку
      

      Учащиеся сдают результаты практической работы и садятся за парты.
      После обсуждения результатов практической работы выдвигается гипотеза о том, что сумма углов треугольника равна 180°.
      Учитель: Почему мы пока не можем утверждать, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°.
      Ученик: Нельзя выполнить ни абсолютно точных построений, ни произвести абсолютно точного измерения, даже на компьютере.
      Утверждение, что сумма углов треугольника равна 180°, относится только к рассмотренным нами треугольникам. Мы ничего не можем сказать о других треугольниках, так как их углы мы не измеряли.
      Учитель: Правильнее было бы сказать: рассмотренные нами треугольники имеют сумму углов приблизительно равную 180°. Чтобы убедиться в том, что сумма углов треугольника точно равна 180° и при том для любых треугольников, нам надо еще провести соответствующие рассуждения, то есть доказать справедливость утверждения, подсказанного нам опытом.
      

   2. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.

      Учащиеся открывают тетради и записывают тему урока «Сумма углов треугольника».

      Работа над структурой теоремы.

      Чтобы сформулировать теорему, ответьте на следующие вопросы:
      • Какие треугольники использовались в процессе проведения измерений?
      • Что входит в условие теоремы (что дано)?
      • Что мы обнаружили при измерении?
      • В чем состоит заключение теоремы (что надо доказать)?
      • Попробуйте сформулировать теорему о сумме углов треугольника.

      Построение чертежа и краткая запись теоремы

      На этом этапе учащимся предлагается сделать чертеж и записать, что дано и что требуется доказать.

      Построение чертежа и краткая запись теоремы.

      Дано: Треугольник ABC.
      Доказать:
      டA + டB + டC = 180°.

      Поиск доказательства теоремы

      При поиске доказательства следует попытаться развернуть условие или заключение теоремы. В теореме о сумме углов треугольника попытки развернуть условие безнадежны, поэтому разумно заняться с учениками развертыванием заключения.
      Учитель: В каких утверждениях говорится об углах, сумма величин которых равна 180°.
      Ученик: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
      Сумма смежных углов равна 180°.
      Учитель: Попробуем для доказательства использовать первое утверждение. В связи с этим необходимо построить две параллельные прямые и секущую, но необходимо это сделать так, чтобы наибольшее количество углов треугольника стали внутренними или входили в них. Как можно этого добиться?
      

      Поиск доказательства теоремы.

      

      Ученик: Провести через одну из вершин треугольника прямую параллельную другой стороне, тогда боковая сторона будет являться секущей. Например, через вершину В.
      Учитель: Назовите образовавшиеся при этих прямых и секущей внутренние односторонние углы.
      Ученик: Углы DBA и ВАС.
      Учитель: Сумма каких углов будет равна 180°?
      Ученик: டDBA и டBAC.
      Учитель: Что можно сказать о величине угла ABD?
      Ученик: Его величина равна сумме величин углов ABC и СВК.
      Учитель: Какого утверждения нам не хватает, чтобы доказать теорему?
      Ученик: டDBC = டACB.
      Учитель: Какие это углы?
      Ученик: Внутренние накрест лежащие.
      Учитель: На основании чего мы можем утверждать, что они равны?
      Ученик: По свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.

      В результате поиска доказательства составляется план доказательства теоремы:
      

      План доказательства теоремы.

      1. Через одну из вершин треугольника провести прямую, параллельную противолежащей стороне.
      2. Доказать равенство внутренних накрест лежащих углов.
      3. Записать сумму внутренних односторонних углов и выразить их через углы треугольника.

      Доказательство и его запись.

      
      1. Проведем BD || АС (аксиома параллельных прямых).
      2. ட3 = ட4 (так как это накрест лежащие углы при BD || АС и секущей ВС).
      3. டА + டАВD = 180° (так как это односторонние углы при BD || АС и секущей АВ).
      4. டА + டАВD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180°, что и требовалось доказать.

      Закрепление формулировки теоремы и ее доказательства.

      Для усвоения формулировки теоремы учащимся предлагается выполнить следующие задания:

      1. Сформулируйте теорему, которую мы только что доказали.
      2. Выделите условие и заключение теоремы.
      3. К каким фигурам применима теорема?
      4. Сформулируйте теорему со словами «если …, то…».
3. Применение знаний, формирование умений и навыков.

Цели и задачи:

Образовательные:

• повторить и обобщить знания о треугольнике;
• доказать теорему о сумме углов треугольника;
• практически убедиться в правильности формулировки теоремы;
• научиться применять полученные знания при решении задач.

Развивающие:

• развивать геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, умение самостоятельно добывать знания.

Воспитательные:

• развивать личностные качества учащихся, таких как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.

Оборудование: мультимедийный проектор, треугольники из цветной бумаги, УМК «Живая математика», компьютер, экран.

Подготовительный этап: учитель дает задание ученику подготовить историческую справку о теореме «Сумма углов треугольника».

Тип урока : изучение нового материала.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие. Психологический настрой учащихся на работу.

II. Разминка

С геометрической фигурой “треугольник” мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте повторим, что нам известно о треугольнике?

Учащиеся работают по группам. Им предоставлена возможность общаться друг с другом, каждому самостоятельно строить процесс познания.

Что получилось? Каждая группа высказывает свои предложения, учитель записывает их на доске. Проводится обсуждение результатов:

Рисунок 1

III. Формулируем задачу урока

Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. Но не все. У каждого из вас на парте есть треугольники и транспортиры. Как вы думаете, какую задачу мы можем сформулировать?

Ученики формулируют задачу урока - найти сумму углов треугольника.

IV. Объяснение нового материала

Практическая часть (способствует актуализации знаний и навыков самопознания).Проведите измерения углов с помощью транспортира и найдите их сумму. Результаты запишите в тетрадь (заслушать полученные ответы). Выясняем, что сумма углов у всех получилась разная (так может получиться, потому что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).

Выполните перегибания по пунктирным линиям и узнайте, чему еще равна сумма углов треугольника:

а)
Рисунок 2

б)
Рисунок 3

в)
Рисунок 4

г)
Рисунок 5

д)
Рисунок 6

После выполнения практической работы ученики формулируют ответ: Сумма углов треугольника равна градусной мере развернутого угла, т. е. 180°.

Учитель: В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой. Какую теорему мы можем сформулировать и доказать?

Ученики: Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Историческая справка: Свойство суммы углов треугольника было установлено еще в Древнем Египте. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментариях Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что это доказательство (рис. 8) было открыто еще пифагорейцами (5 в. до н. э.). В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа (рис. 7):

Рисунок 7

Рисунок 8

Чертежи высвечиваются на экране через проектор.

Учитель предлагает с помощью чертежей доказать теорему.

Затем доказательство проводится с применением УМК «Живая математика» . Учитель на компьютере проецирует доказательство теоремы.

Теорема о сумме углов треугольника: «Сумма углов треугольника равна 180°»

Рисунок 9

Доказательство:

а)

Рисунок 10

б)

Рисунок 11

в)

Рисунок 12

Учащиеся в тетради делает краткую запись доказательства теоремы:

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

Рисунок 13

Дано: Δ АВС

Доказать: А + В + С = 180°.

Доказательство:

Что требовалось доказать.

V. Физ. минутка.

VI. Объяснение нового материала (продолжение)

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника выводится учащимися самостоятельно, это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее:

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .

Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным .

Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным .

Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .

Теорема о сумме углов треугольника позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам. (По ходу введения видов треугольников учащимися заполняется таблица)

Таблица 1

Вид треугольника	Равнобедренный	Равносторонний	Разносторонний
Прямоугольный
Тупоугольный
Остроугольный

VII. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи устно:

(Чертежи высвечиваются на экране через проектор)

Задача 1. Найдите угол С.

Рисунок 14

Задача 2. Найдите угол F.

Рисунок 15

Задача 3. Найдите углы К и N.

Рисунок 16

Задача 4. Найдите углы P и T.

Рисунок 17

1. Решить задачу самостоятельно № 223 (б, г).
2. Решить задачу на доске и в тетрадях уч-ся №224.
3. Вопросы: Может ли треугольник иметь: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) один прямой и один тупой угол.
4. (выполняется устно) На карточках, имеющихся на каждом столе, изображены различные треугольники. Определите на глаз вид каждого треугольника.

Рисунок 18

1. Найдите сумму углов 1, 2 и 3.

Рисунок 19

VIII. Итог урока.

Учитель: Что мы узнали? Для любого ли треугольника применима теорема?

IX. Рефлексия.

Передайте мне свое настроение, ребята! С обратной стороны треугольника изобразите свою мимику.

Рисунок 20

Домашнее задание: п.30 (1 часть), вопрос 1 гл. IV стр. 89 учебника; № 223 (а, в), № 225.

Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.

Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (рис. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно АС.

При вершине В мы получили три угла: ∠4, ∠2 и ∠5. Их сумма составляет развёрнутый угол, следовательно, она равна 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Но ∠4 = ∠1 - это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей АВ.

∠5 = ∠3 - это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей ВС.

Значит, ∠4 и ∠5 можно заменить равными им ∠1 и ∠3.

Следовательно, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Теорема доказана.

2. Свойство внешнего угла треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

В самом деле, в треугольнике ABC (рис. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, но и ∠ВСD, внешний угол этого треугольника, не смежный с ∠1 и ∠2, также равен 180° - ∠3.

Таким образом:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Следовательно, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Выведенное свойство внешнего угла треугольника уточняет содержание ранее доказанной теоремы о внешнем угле треугольника, в которой утверждалось только, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним; теперь же устанавливается, что внешний угол равен сумме обоих внутренних углов, не смежных с ним.

3. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°.

Теорема. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике АСВ угол В равен 30° (рис. 210). Тогда другой его острый угол будет равен 60°.

Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ. Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник - равносторонний.

Катет АС равен половине АМ, а так как АМ равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.