Решение квадратных уравнений. Квадратные уравнения
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение
.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
- с помощью дискриминанта
- с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода квадратного многочлена
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} z + \frac{1}{7}z^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки
. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Решить
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac{4}{9}=0 \)
имеет вид
\(ax^2+bx+c=0, \)
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = -7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения
называют квадратными уравнениями
.
Определение.
Квадратным уравнением
называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа,
причём \(a \neq 0 \).
Числа a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом и число c - свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \(a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x - квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением
.
Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением . Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \(c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть
и делят обе части уравнения на a:
\(x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{ -\frac{c}{a}} \)
Так как \(c \neq 0 \), то \(-\frac{c}{a} \neq 0 \)
Если \(-\frac{c}{a}>0 \), то уравнение имеет два корня.
Если \(-\frac{c}{a} Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) раскладывают его левую часть на множители
и получают уравнение
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ ax+b=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-\frac{b}{a} \end{array} \right. \)
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\(x^2+\frac{b}{a}x +\frac{c}{a}=0 \)
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\(x^2+2x \cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2- \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow \)
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения
ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни -
различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\(D = b^2-4ac \)
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\(x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{D} }{2a} \), где \(D= b^2-4ac \)
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \(x=-\frac{b}{2a} \).
3) Если D Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень
(при D = 0) или не иметь корней (при D При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать,
что корней нет.
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x 1 и x 2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0
обладают свойством:
\(\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end{array} \right. \)
Неполное квадратное уравнение отличаются от классических (полных) уравнений тем, что его множители или свободный член равны нулю. Графиком таких функций являются параболы. В зависимости от общего вида их делят на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.
Ничего сложного в определении типа неполного многочлена нет. Рассмотреть основные отличия лучше всего на наглядных примерах:
- Если b = 0, то уравнение имеет вид ax 2 + c = 0.
- Если c = 0, то решать следует выражение ax 2 + bx = 0.
- Если b = 0 и c = 0, то многочлен превращается в равенство типа ax 2 = 0.
Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в заданиях для проверки знаний, так как единственно верное значение переменной x в выражении – это ноль. В дальнейшем будет рассмотрены способы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) видов.
Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением
Не зависимо от разновидности уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:
- Привести выражение к удобному для поиска корней виду.
- Произвести вычисления.
- Записать ответ.
Решать неполные уравнения проще всего, разложив на множители левую часть и оставив ноль в правой. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для поиска корней сводится к вычислению значения x для каждого из множителей.
Научиться способам решения можно только лишь на практике, поэтому рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:
Как видно, в данном случае b = 0. Разложим левую часть на множители и получим выражение:
4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.
Очевидно, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Подобным требованиям отвечают значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.
Для того, чтобы легко и быстро справляться с задачей разложения квадратного трехчлена на множители, следует запомнить следующую формулу:
Если в выражении отсутствует свободный член, задача многократно упрощается. Достаточно будет всего лишь найти и вынести за скобки общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример, как решать неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0.
Вынесем переменную x за скобки и получим следующее выражение:
x ⋅ (x + 3) = 0.
Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.
Традиционный способ решения и неполные квадратные уравнения
Что же будет, если применить формулу дискриминанта и попытаться найти корни многочлена, при коэффициентах равных нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий для ЕГЭ по математики 2017 года, решим его с помощью стандартных формул и методом разложения на множители.
7x 2 – 3x = 0.
Рассчитаем значение дискриминант: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, многочлен имеет два корня:
Теперь, решим уравнение разложением на множители и сравним результаты.
X ⋅ (7x + 3) = 0,
2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.
Как видно, оба метода дают одинаковый результат, но решить уравнение вторым способ получилось гораздо проще и быстрее.
Теорема Виета
А что же делать с полюбившейся теоремой Виета? Можно ли применять данный метод при неполном трехчлене? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.
На самом деле применять теорему Виета в данном случае возможно. Необходимо лишь привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены нулем.
Например, при b = 0 и a = 1, дабы исключить вероятность путаницы следует записать задание в виде: ax2 + 0 + c = 0. Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:
Теоретические выкладки помогают ознакомиться с сутью вопроса, и всегда требуют отработки навыка при решении конкретных задач. Снова обратимся к справочнику типовых заданий для ЕГЭ и найдем подходящий пример:
Запишем выражение в удобном для применения теоремы Виета виде:
x 2 + 0 – 16 = 0.
Следующим шагом составим систему условий:
Очевидно, что корнями квадратного многочлена будут x 1 = 4 и x 2 = -4.
Теперь, потренируемся приводить уравнение к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4× x 2 – 1 = 0
Для того, чтобы применить к выражению теорему Виета необходимо избавиться от дроби. Перемножим левую и правую части на 4, и посмотрим на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово для решения теоремой Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ просто перенеся с = 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.
Подводя итог, следует сказать, что лучшим способом решения неполных уравнений является разложения на множители, является самым простым и быстрым методом. При возникновении затруднений в процессе поиска корней можно обратиться к традиционному методу нахождения корней через дискриминант.
Из этой статьи Вы узнаете:
Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли это уравнение неполным квадратным уравнением? А как решать неполные квадратные уравнения?
Как узнать "в лицо" неполное квадратное уравнение
Левая часть уравнения есть квадратный трёхчлен , а правая - число . Такие уравнения называют полными квадратными уравнениями.
У полного квадратного уравнения все коэффициенты , и не равны . Для их решения существуют специальные формулы, с которыми мы познакомимся позднее.
Наиболее простыми для решения являются неполные квадратные уравнения. Это такие квадратные уравнения, в которых некоторые коэффициенты равны нулю .
Коэффициент по определению не может быть равным нулю , так как иначе уравнение не будет квадратным. Об этом мы говорили. Значит, получается, что обратиться в нуль могут только коэффициенты или .
В зависимости от этого существует три вида неполных квадратных уравнений.
1)
, где ;
2)
, где ;
3)
, где .
Итак, если мы видим квадратное уравнение, в левой части которого вместо трёх членов присутствуют два члена или один член , то такое уравнение будет неполным квадратным уравнением.
Определение неполного квадратного уравнения
Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение , в котором хотя бы один из коэффициентов или равен нулю .
В этом определении есть очень важное словосочетание "хотя бы один из коэффициентов... равен нулю ". Это значит, что один или больше коэффициентов могут равняться нулю .
Исходя из этого возможны три варианта : или один коэффициент равен нулю, или другой коэффициент равен нулю, или оба коэффициента одновременно равны нулю. Вот так и получаются три вида неполного квадратного уравнения.
Неполными
квадратными уравнениями являются такие уравнения:
1)
2)
3)
Решение уравнения
Наметим план решения этого уравнения. Левую часть уравнения можно легко разложить на множители , так как в левой части уравнения у членов и есть общий множитель , его можно вынести за скобку. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа - нуль.
А затем будет работать правило "произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл" . Всё очень просто!
Итак, план решения
.
1)
Левую часть раскладываем на множители.
2) Пользуемся правилом "произведение равно нулю..."
Уравнения подобного типа я называю "подарок судьбы" . Это такие уравнения, у которых правая часть равна нулю , а левую часть можно разложить на множители .
Решаем уравнение по плану .
1) Разложим левую часть уравнения на множители , для этого вынесем общий множитель , получим такое уравнение .
2) В уравнении мы видим, что слева стоит произведение , а справа нуль . Настоящий подарок судьбы! Здесь мы, конечно, воспользуемся правилом "произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл ". При переводе этого правила на язык математики получим два уравнения или .
Мы видим, что уравнение распалось на два более простых уравнения, первое из которых уже решено ().
Решим второе уравнение . Перенесём неизвестные члены влево, а известные вправо. Неизвестный член уже стоит слева, мы его там и оставим. А известный член перенесём вправо с противоположным знаком. Получим уравнение .
Мы нашли , а нам надо найти . Чтобы избавиться от множителя , надо обе части уравнения разделить на .
», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.
Что называют квадратным уравнением
Важно!
Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.
Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.
Примеры квадратных уравнений
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:
A x 2 + b x + c = 0
«a », «b » и «c » — заданные числа.- «a » — первый или старший коэффициент;
- «b » — второй коэффициент;
- «c » — свободный член.
Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».
Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.
Уравнение | Коэффициенты | |||
---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
1 |
3 |
- a = −1
- b = 1
- с =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- с = 0
- a = 1
- b = 0
- с = −8
Как решать квадратные уравнения
В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .
Запомните!
Чтобы решить квадратное уравнение нужно:
- привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
- использовать формулу для корней:
Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.
X 2 − 3x − 4 = 0
Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .
Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
С её помощью решается любое квадратное уравнение.
В формуле «x 1;2 =
» часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac
» на букву «D
» и называют
дискриминантом
. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке
«Что такое дискриминант ».
Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.
x 2 + 9 + x = 7x
В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Теперь можно использовать формулу для корней.
X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
6 |
2 |
x = 3
Ответ: x = 3
Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.
Уравнение принимает вид:
Решим его в общем виде:
Замечание : уравнение будет иметь корни только в том случае, если , иначе окажется, что квадрат
равен отрицательному числу, а это невозможно.
Ответ:
Пример:
Ответ:
Последний переход сделали потому, что иррациональность в знаменателе оставляют крайне редко.
2. Свободный член равен нулю (с=0).
Уравнение принимает вид:
Решим его в общем виде:
Для решения приведённых квадратных уравнений , т.е. если коэффициент
a = 1:
x 2 +bx+c=0,
тогда x 1 x 2 =c
x 1 +x 2 =−b
Для полного квадратного уравнения, в котором a≠1 :
x 2 +b x+ c =0,
делим все уравнение на а:
→ →
где x 1 и x 2 - корни уравнения.
Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте
уравнение на общий знаменатель.
Вывод. Практические советы:
1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .
2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением
всего уравнения на -1.
3. Если коэффициенты дробные - ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий
множитель.
4. Если икс в квадрате - чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по