Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k 1 x + B 1 ,

Пусть даны две точки М 1 (х 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) . Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:

Так как точка М 2 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): . Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение:

Если это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:

(6)

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М 1 (1,2) и М 2 (-2,3)

Решение . . Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые l 1 и l 2 :

l 1 : , , и

l 2 : , ,

φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .

Отсюда , или

С помощью формулы (7) можно определить один из углов между прямыми. Второй угол равен .

Пример . Две прямые заданы уравнениями у=2х+3 и у=-3х+2. найти угол между этими прямыми.

Решение . Из уравнений видно, что k 1 =2, а k 2 =-3. подставляя данные значения в формулу (7), находим

. Таким образом, угол между данными прямыми равен .

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые l 1 и l 2 параллельны, то φ=0 и tgφ=0 . из формулы (7) следует, что , откуда k 2 =k 1 . Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l 1 и l 2 перпендикулярны, то φ=π/2 , α 2 = π/2+ α 1 . . Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj= ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k= . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П 1) , то для того чтобы определить расстояние от точкиА до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h .

Рассмотрим более сложный пример, когда прямая занимает общее положение. Пусть необходимо определить расстояние от точки М до прямойа общего положения.

Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично предыдущей. На одной прямой берется точка, из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми.

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае Ах 2 + 2Вху +Су 2 + 2Дх + 2Еу +F = 0,

где А, В, С, Д, Е, F – действительные числа и по крайней мере одно из чисел А 2 +В 2 +С 2 ≠0.

Окружность

Центр окружности – это геометрическое место точек в плоскости равностоящих от точки плоскости С(а,b).

Окружность задается следующим уравнением:

Где х,у – координаты произвольной точки окружности, R - радиус окружности.

Признак уравнения окружности

1. Отсутствует слагаемое с х,у

2. Равны Коэффициенты при х 2 и у 2

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами (постоянная величина).

Каноническое уравнение эллипса:

Х и у принадлежат эллипсу.

а – большая полуось эллипса

b – малая полуось эллипса

У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью . Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса.

Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси.

Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β)

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная, отличная от ноля.

Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола имеет 2 оси симметрии:

а – действительная полуось симметрии

b – мнимая полуось симметрии

Ассимптоты гиперболы:

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

У 2 =2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы)

Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β) 2 =2р(х-α)

Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х 2 =2qу

Уравнение параболы является квадратичной функцией. Существует несколько вариантов составления этого уравнения. Все зависит от того, какие параметры представлены в условии задачи.

Инструкция

Парабола представляет собой кривую, которая по своей форме напоминает дугу и является графиком степенной функции. Независимо от того, характеристики имеет парабола, эта является четной. Четной называется такая функция, у при всех значениях аргумента из определения при изменении знака аргумента значение не изменяется:f(-x)=f(x)Начните с самой простую функции: y=x^2. Из ее вида можно сделать вывод, что она как при положительных, так и при отрицательных значениях аргумента x. Точка, в которой x=0, и при этом, y =0 считается точкой .

Ниже приведены все основные варианты построения этой функции и ее . В качестве первого примера ниже рассмотрена функция вида:f(x)=x^2+a, где a - целое числоДля того, чтобы построить график данной функции, необходимо сдвинуть график функции f(x) на a единиц. Примером может служить функция y=x^2+3, где вдоль оси y сдвигают функцию на две единицы. Если дана функция с противоположным знаком, например y=x^2-3, то ее график сдвигают вниз по оси y.

Еще один вид функции, которой может быть задана парабола - f(x)=(x +a)^2. В таких случаях график, наоборот, сдвигается вдоль оси абсцисс (оси x) на a единиц. Для примера можно рассмотреть функции: y=(x +4)^2 и y=(x-4)^2. В первом случае, где имеется функция со знаком плюс, график сдвигают по оси x влево, а во втором случае - вправо. Все эти случаи показаны на рисунке.

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой.Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x - x 1 a x = y - y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 (x 1 , y 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) и координатами лежащих на них точках M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Получим уравнение вида x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Пример 1

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Решение

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Пример 2

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 (1 , 1) и M 2 (4 , 2) в системе координат О х у.

Решение

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Ответ: x - 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у, которая проходит через точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2 , y 2) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x - x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Пример 3

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 (2 , 1) и y = k x + b .

Решение

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 (- 7 , - 5) и M 2 (2 , 1) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = - 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x - 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 (2 , 1) и M 1 (- 7 , - 5) , имеющее вид x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x - 1 3 .

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты (x 1 , y 1 , z 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y , a z) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , где прямая проходит через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Пример 4

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 (2 , - 3 , 0) и M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Решение

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = - 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = - 3 , z 2 = - 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Ответ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель!

Сегодня мы начнем изучать алгоритмы, связанные с геометрией. Дело в том, что олимпиадных задач по информатике, связанных с вычислительной геометрией, достаточно много и решение таких задач часто вызывают затруднения.

За несколько уроков мы рассмотрим ряд элементарных подзадач, на которые опирается решение большинства задач вычислительной геометрии.

На этом уроке мы составим программу для нахождения уравнения прямой , проходящей через заданные две точки . Для решения геометрических задач нам понадобятся некоторые знания из вычислительной геометрии. Часть урока мы посвятим знакомству с ними.

Сведения из вычислительной геометрии

Вычислительная геометрия – это раздел информатики, изучающий алгоритмы решения геометрических задач.

Исходными данными для таких задач могут быть множество точек на плоскости, набор отрезков, многоугольник (заданный например, списком своих вершин в порядке движения по часовой стрелке) и т.п.

Результатом может быть либо ответ на какой то вопрос (типа принадлежит ли точка отрезку, пересекаются ли два отрезка, …), либо какой-то геометрический объект (например, наименьший выпуклый многоугольник, соединяющий заданные точки, площадь многоугольника, и т.п.).

Мы будем рассматривать задачи вычислительной геометрии только на плоскости и только в декартовой системе координат.

Векторы и координаты

Чтобы применять методы вычислительной геометрии, необходимо геометрические образы перевести на язык чисел. Будем считать, что на плоскости задана декартова система координат, в которой направление поворота против часовой стрелки называется положительным.

Теперь геометрические объекты получают аналитическое выражение. Так, чтобы задать точку, достаточно указать её координаты: пару чисел (x; y). Отрезок можно задать, указав координаты его концов, прямую можно задать, указав координаты пары ее точек.

Но основным инструментом при решении задач у нас будут векторы. Напомню поэтому некоторые сведения о них.

Отрезок АВ , у которого точку А считают началом (точкой приложения), а точку В – концом, называют вектором АВ и обозначают либо , либо жирной строчной буквой, например а .

Для обозначения длины вектора (то есть длины соответствующего отрезка) будем пользоваться символом модуля (например, ).

Произвольный вектор будет иметь координаты, равные разности соответствующих координат его конца и начала:

,

здесь точки A и B имеют координаты соответственно.

Для вычислений мы будем использовать понятие ориентированного угла , то есть угла, учитывающего взаимное расположение векторов.

Ориентированный угол между векторами a и b положительный, если поворот от вектора a к вектору b совершается в положительном направлении (против часовой стрелки) и отрицательный – в другом случае. См рис.1а, рис.1б. Говорят также, что пара векторов a и b положительно (отрицательно) ориентирована.

Таким образом, величина ориентированного угла зависит от порядка перечисления векторов и может принимать значения в интервале .

Многие задачи вычислительной геометрии используют понятие векторного (косого или псевдоскалярного) произведений векторов.

Векторным произведением векторов a и b будем называть произведение длин этих векторов на синус угла между ними:

.

Векторное произведение векторов в координатах:

Выражение справа – определитель второго порядка:

В отличии от определения, которое дается в аналитической геометрии, это скаляр.

Знак векторного произведения определяет положение векторов друг относительно друга:

a и b положительно ориентирована.

Если величина , то пара векторов a и b отрицательно ориентирована.

Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны (). Это значит, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Рассмотрим несколько простейших задач, необходимых при решении более сложных.

Определим уравнение прямой по координатам двух точек.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.

Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки: с координатами (x1;y1) и с координатами (x2; y2). Соответственно вектор с началом в точке и концом в точке имеет координаты (x2-x1, y2-y1). Если P(x, y) – произвольная точка на нашей прямой, то координаты вектора равны (x-x1, y – y1).

С помощью векторного произведения условие коллинеарности векторов и можно записать так:

Т.е. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Последнее уравнение перепишем следующим образом:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).

Задача 1. Заданы координаты двух точек. Найти её представление в виде ax + by + c = 0.

На этом уроке мы познакомились с некоторыми сведениями из вычислительной геометрии. Решили задачу по нахождению уравнения линии по координатам двух точек.

На следующем уроке составим программу для нахождения точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями.